Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?

Türev ve integral'i gerçekten anlamak.

Türev nedir, integral nedir?

Türev ve integral matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir.

Günümüzde okullarda, liselerde bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır.

Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır.

Örneğin türev için sayının üstünü katsayı olarak önüne al ve üstü biraz alt.

Denmekte. İntegrali anlatmak içinse üstü bir arttırıp aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

İyi bu işlemleri yapalım da neden?

Ne işe yarıyor?

Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

En başından şu kadarını söyleyelim.

21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri türev ve integrale dayalıdır.

Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu basit bir şekilde anlayalım.

Türev ve integrali basit bir örnekle anlamak.

Aslında iki kavram da öylesine temel ve öylesine basittir ki buna rağmen matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır.

Türev ve integrali bin bir farklı şekilde anlatmak mümkündür fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız.

Türev bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktarıdır.

Yani türev değişimi ölçmek için kullanılır.

Genellikle türevi bir şeyin zaman geçtikçe ne kadar değiştiğini hesaplamak veya ifade etmek için kullanırız.

Bunu az sonra örneklendireceğiz.

İntegral ise belli bir aralıktaki toplam değişimi ya da biriken değişim miktarını ifade etmek için kullanılır.

Türev ve integrali anlamak için integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız kova içerisindeki su damla damla birikecektir.

Birim zamanda örneğin saatte bir veya günde bir kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır.

Çok basit tabiriyle hacim miktarındaki değişimin zamandaki değişime oranı türevdir.

Zamanı saatle ölçerseniz dersiniz ki 8 saat geçmiş.

Buna 8 birim zaman diyelim.

Kovaya bakarsanız boşken 8 litre dolmuş.

Kovadaki bu hacim değişiminin zamandaki değişime oranı türevdir.

Tabi ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır.

Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş ya da genel olarak değişen hızlarda akıtıyorsa o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli

bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır.

Fakat sonuç değişmez.

Eğer değişen şey her neyse onun değişim biçimini ifade eden matematiksel bir formülünüz varsa bunun zamana göre türevi o şeyin zaman içinde nasıl değiştiğini ifade eder.

Bu kadar basit.

İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse o formülün zamana göre türevini almak birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar.

Eğer ki tavan her saniye bir damla akıtıyorsa bu davranış V eşittir T formülü ile temsil edilebilir.

Neden? Çünkü T yani zaman her bir birim örneğin bir saniye arttığında hacimde bir birim örneğin bir damla artacaktır.

10 saniye sonra kovada 10 damla su bulunacaktır.

Peki ya değişim?

Türevini alalım. Y eşittir T formülünün T'ye göre türevi 1'dir.

Bu işlemin nasıl yapıldığına dair de birçok anlatım yapılabilir.

Ancak lisede öğrendiğiniz düz mantıkla bir formülün türevinin nasıl alındığını bildiğinizi varsayıyoruz.

Yani y eşittir t formülünde y'nin t'ye göre türevi t'nin herhangi bir üstü olmadığı için doğrudan önündeki kat sayıya eşittir.

Bu da 1'dir.

Bir formülün türevinin nasıl alındığını şimdilik boş verin.

Sonuca odaklanın. Her saniye bir damla akıyorsa değişimin miktarının türevin sonucunun bir olması mantıklı.

Öyle değil mi? Çünkü her saniye hacmin bir damla arttığını zaten söylemiştik.

Dolayısıyla türevin bir damla sonucunu vermesi çok normal.

Çünkü türev değişimdir.

Peki diyelim ki kovamızın başına sandalyemizi çektik ve bir gözlem yaptık.

Bu gözlem sonucunda şu verileri topladık.

İlk başta kovada su yok.

Birinci saniye sonunda kovada 2 damla su birikti.

Artış 2 damla.

İkinci saniye sonunda kovada 8 damla su birikti.

Artış 6 damla.

Üçüncü saniye sonunda kovada 18 damla su birikti.

Artış 10 damla.

Dördüncü saniye sonunda kovada 32 damla su birikti.

Artış 14 damla.

Ve böyle devam ediyor.

İşte bu hacim değişiminin formüle dönüştürmek isterseniz karşınıza V eşittir 2T üstü 2 çıkacaktır.

Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için T'yi 4 alırsanız V yani hacim 32 damla olacaktır.

Gerçekten de her saniyede damlayan miktarı birbirine ekleyecek olsanız 2 artı 6 artı 10 artı 14 eşittir 32'dir.

Devam etmeden önce o tavanı tıkasanız iyi olacak yoksa çok kısa bir süre içinde her yere su götürecek.

Şaka bir yana devam edelim.

Bu durumda değişim miktarı için formülün T'ye göre türevini alacak olursak bu türev V eşittir 4T olacaktır.

Bunu ilk etapta görmesi bir anlığına zor olabilir.

Ancak suyumuz düzenli olarak sızdırmak yerine bir anda birkaç damla halinde kovamıza damlamakta.

Böyle düşünecek olursanız 1.

saniye ile 2. saniye arasında geçen 1 saniyelik sürenin tamamı boyunca akıtmadığını diyelim ki tam ortasında yani 1.5.

saniyede birden aktığını varsayalım.

Gerçekten de 1.5.

saniye ile 4'ü çarpacak olursak 6 damlalık bir artış görürüz.

Verilerimize bakacak olursak 1 ile 2.

saniyeler arasında 6 damla arttığını görürüz.

Benzer şekilde 3.

saniye ile 4. saniye arasındaki değişimin tam da 3.5.

saniyede olduğunu varsayarsak 3.5 çarpı 4 eşittir 14 damla olacaktır.

Verilerimiz ile birebir örtüşüyor.

Ama sorabilirsiniz.

Ya musluk sürekli akıtsaydı?

Hiç fark etmez.

O zaman yukarıdaki gibi saniyelere bölünmüş bir hesap değil de anlık olarak ölçebileceğiniz bir hesap yapardık.

Bu durumda damlalar bazında değil de hacim olarak yani litre olarak düşünebiliriz.

Formülümüz aynıdır.

Eğer bir saat alıp tam 3.2 saniyede kaç litre su biriktiğini ölçmek isterseniz t yerine 3.2 yazabilirsiniz.

V eşittir 2 çarpı parantez içerisinde 3.2 üstü 2 eşittir.

20.48 litre.

Bu sayının yukarıdaki ölçümümüzde 18 ila 32 damla arasında yer alması çok mantıklıdır.

Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse türev de son derece basittir.

Çoğu zaman türev çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üst alma işlemlerinden ibarettir.

İşler zorlaşırsa basitçe bir tabloya bakarak neyin türevinin nasıl alındığını bulabilirsiniz.

Örneğin logaritmanın veya bölümün türevini ezberlemeniz şart değildir okullar ezbere zorlasa da.

Bunlar internette 2 saniyelik bir aramayla bulabileceğiniz tablolardır.

Logaritmanın türevini ezberlemek sizi dahi yapmaz.

Onu nasıl kullanacağınızı bilip bu aracı kullanarak değişim yaratmak sizi dahi yapar.

Türev gibi olun, değişim yaratın.

Kısaca bünyesinde değişim olan her şeyin özü türeve dayanmaktadır.

Bu bakımdan türev evrimsel biyoloji içinde çok kıymetlidir.

Çünkü evrim popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesilleri içerisindeki değişimidir.

Bu aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir.

Dolayısıyla matematiksel evrim çalışmalarında türev kavramı hemen her yerdedir.

Türev bir çeşit evrimdir.

Evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının zamana veya nesillere göre türevidir.

Görseldeki integrali anlamak.

İntegral ise belli bir değerin belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır.

Örneğin damlatan tavanınızın hızının giderek arttığını düşünelim.

24 saatlik bir süre zarfında kaç kova dolu susur birikeceğini integral hesabıyla bulabiliriz.

Aşağıdaki görselimizdeki veya en yukarıda ana görselimizdeki edebi integrali ele alalım.

Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedim.

Öncelikle denklemde sol tarafta belirtilen yaşam integral işleminin sonucudur.

Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey yaşamdır.

Burada örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim.

Yaşam ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.

Bu cümlenin integral ifadesi yukarıdaki görseldeki gibidir.

Adım adım takip edelim.

Önce değişken belirlenmelidir.

Yani değişen şey ne?

Kendimize bunu sormalıyız.

Burada değişen şey zamandır.

Sonrasında hesaplamak istediğimiz şey belirlenir.

Mutluluk, yani sözün iddia ettiği gibi mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz.

Bunun yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.

İntegral işareti, uzunca bir s şeklinde olan integral işareti altına değişkenin, bu durumda zaman, başlangıcı yazılır, doğum.

Elde ettiğimiz son durum integral, doğum.

Üstüne hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır, ölüm.

Son durumda formülümüz integral üstte ölüm altta doğum.

İntegralin iç kısmına hesaplanmaya çalışılan şey yazılır.

Bu durumda zaman başına düşen mutluluk hesaplanmaktadır.

Dolayısıyla mutluluğun zamana bölümü yazılmıştır.

Benzer bir hesap sadece mutluluk olarak da yapılabilirdi.

Bu örnekte zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır.

Son durumda elde ettiğimiz İntegral, üstte ölüm, altta doğum, mutluluk bölü zaman.

Son olaraksa değişken üçgen işaretiyle ya da genelde D harfiyle birlikte yazılır.

Zaman, birim zaman demektir.

Elimizde olan son formül şöyle.

İntegral, üstte ölüm, altta doğum, mutluluk bölü zaman, üçgen zaman.

İşte oldu.

Zaman ya da birim zaman, başına düşen mutluluğun birikimini doğumdan ölüme kadar birim zaman aralıkları boyunca hesapladık.

Bunu da yaşama eşitledik.

Formülümüz tam da görseldeki gibi.

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimi iken, integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk

değerlerinin bir toplamıdır.

Bu örnekte atlanan en temel nokta mutluluk, değerinin matematiksel ifadesidir.

İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir.

Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da mutluluk yerine yazacağımız şeyi, örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi.

Mutluluğu nasıl tanımlayacağız?

Mutluluğun matematiksel formülü nedir?

Örneğin mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu belli bir düzeni takip eden, birden fazla terimin toplama anlamına gelen meşhur sigma işaretiyle ifade

edip, görselde mutluluk yerine sigma, küçük başarılar yazabilirdik.

Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik.

Ancak burada önemli olan integralin nasıl alındığı değil neden alındığı.

Nasıl alındığını basit bir formül tablosuna bakarak yapabilirsiniz.

Unutmayın integral tablolarını ezberlemek sizi uzman yapmaz.

Uzmanlık o tabloyu nasıl kullanacağınızı bilmektir.

Mutluluğa yönelik matematiksel formülünüz değiştikçe integralin sonucu da değişecektir.

Ancak bu önemli değil.

Mutluluğu her nasıl tanımlarsanız tanımlayın, matematiksel olarak ifade edebildiğiniz müddetçe integralini de alabilirsiniz.

Bu anlatımdaki asıl amacımızı unutmayın.

Amaç, mutluluğu doğumdan ölüme kadar ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak.

Böylece yaşamı elde ediyoruz.

En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.

Bu gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir.

Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler.

Bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler.

Grafiklerin türe ve integralini gerçekten anlamak.

Bu noktada okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer noktada da anlaşılır hale gelebilir.

Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler.

Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teç çizgisinin eğimiyle ifade edilir.

İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın.

Değişim. Elimizdeki grafik ya da geometrik eğri tıpkı yukarıda anlattığımız mutluluğun matematiksel tanımı gibi bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir.

Bu çizginin herhangi bir noktasındaki eğer zamana bağlı türev alıyorsak herhangi bir anındaki değişim eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar

değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir.

Ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet tıpkı bir kaydırak görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir.

O kaydırak ne kadar dik ise o kadar hızlı bir değişim var demektir.

Çünkü dik bir kaydıraktan hızlı bir şekilde kayabilirsiniz.

Değişim çok hızlı olur.

O teğet ne kadar yataysa değişim o kadar azdır.

Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz.

Konumunuzun değişimi çok azdır.

Yani gerçek hayattaki bir kaydırak sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır.

Zaten tanımı gereği integralin iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı olarak izah edildiğini hatırlayın.

Bu sebeple bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz.

İlki fiziktir.

Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım.

Konum hızın zamana göre integralidir.

Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan integrale denk geldiğinden toplam konum değişiminin verir.

Anlaması tıpkı lise sıralarında olduğu gibi zor değil mi?

Ancak ikinci yöntem integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir.

Belli bir hızla hareket eden bir cisim her saniye belli bir miktar yol kat eder.

Bu yolların toplamı iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir.

İşte bunu kolayca bulmanın yolu Grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır.

X eksenine göre integralini aldığınızda X ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz.

Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.

Kalkülüsün temel teoremine göre türev ve integral birbirinin tersidir.

Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini sonra türevini alırsanız ya da tam tersi değişkenin kendisini elde edersiniz.

Aslında bu her zaman doğru değildir.

İntegralin sınırları da önemlidir.

Ancak basitçe akılda tutmak için bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok.

İkisini birbirinin tersi olarak düşünebilirsiniz.

Fakat ufkunuzu bu basit zıtlıkla sınırlandırmayın.

Her birinin kendi içindeki önemini, daha önemlisi anlamını kavrayın.

Bu konuda daha pek çok söz söylenebilir.

Ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.